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<title>Difféotopie</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Difféotopie</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, une <b>difféotopie</b> est une <a href="Classe_d'%C3%A9quivalence" class="mw-redirect" title="Classe d'équivalence">classe d'équivalence</a> pour la relation d’<a href="Homotopie#Isotopie" title="Homotopie">isotopie</a> entre <a href="Diff%C3%A9omorphisme" title="Difféomorphisme">difféomorphismes</a> sur une <a href="Vari%C3%A9t%C3%A9_diff%C3%A9rentielle" title="Variété différentielle">variété différentielle</a>. Plus explicitement, étant donnés deux difféomorphismes sur une telle variété <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span>, c’est-à-dire deux applications <span class="texhtml"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span><sub>0</sub>, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span><sub>1</sub> : <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> → <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span></span> <a href="Vari%C3%A9t%C3%A9_diff%C3%A9rentielle#Applications_différentiables" title="Variété différentielle">différentiables</a> et <a href="Bijection" title="Bijection">bijectives</a> avec des <a href="Application_r%C3%A9ciproque" class="mw-redirect" title="Application réciproque">réciproques</a> différentiables, on dit que ces difféomorphismes sont isotopes s’il existe une famille de difféomorphismes <span class="texhtml"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span><sub><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span></sub></span> pour <span class="texhtml"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> ∈ ]0, 1[</span> telle que <span class="texhtml"><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Φ</span> : (<span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>) ↦ <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span><sub><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span></sub>(<span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>)</span> définisse une application différentiable sur <span class="texhtml">[0, 1] × <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span></span>.
</p><p>L’ensemble des difféotopies (préservant le bord) sur une surface connexe compacte et orientée est un <a href="Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a> souvent appelé sous sa dénomination en anglais <i><b><span class="lang-en" lang="en">mapping class group</span></b></i>. Pour une surface <span class="texhtml">Σ</span> on trouve la notation avec un « M » gothique <span class="texhtml">𝔐(Σ)</span>. À l’aide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi être noté
<span class="texhtml">Γ<sub><span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span>,<span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span></sub></span> pour une surface de genre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> avec <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> composantes de bord<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.
</p><p>Une <b>homéotopie</b> est une classe d’équivalence pour la relation d’isotopie entre <a href="Hom%C3%A9omorphisme" title="Homéomorphisme">homéomorphismes</a>. Cette notion est en général plus large que celle de difféotopie, mais coïncide<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> dans le cas d’une variété de dimension 2.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>
<div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Richard Hain, Eduard Looijenga, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/pdf/alg-geom/9607004.pdf"><i><span class="lang-en" lang="en">Mapping Class Group and Moduli Spaces of Curves</span></i></a>, page 4, sur <a href="ArXiv" title="ArXiv">ArXiv</a> (1996).</span>
</li>
<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">Florian Deloup (Université de Toulouse), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.univ-toulouse.fr/~deloup/Cours-Mapping-class-group2010/Cours10.pdf"><i>Le Groupe des Difféotopies de Surface</i></a>, page 9.</span>
</li>
</ol></div>
</div>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> </ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2021-12-15" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Diff%C3%A9otopie&oldid=188905139">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.
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